Em Magic, você pode jogar com 4 cópias de uma carta, com um deck de 60 cartas. Há variância nas cópias e na quantidade de cartas que tem um limite. Mas vamos imaginar a situação descrita de 4 cópias e 60 cartas no total.

Se você tivesse apenas uma cópia da carta, o problema se torna simples.

Portanto se você tivesse uma cópia de uma carta em seu deck de sessenta cartas, você teria uma chance de 7/60 de comprar em sua mão inicial de sete cartas. Se você tem quatro cópias da carta, a chance passa a ser 4/60? Ou talvez a chance seja maior ou menor que isso?

Primeiro vamos fazer uma revisão rápida de alguns conceitos de matemática. Fatoriais, permutações, combinações e distribuição hipergeométrica são basicamente o que precisaremos nesse tópico. Antes de começar a nos referir a eles, eu irei primeiro explicar eles de forma que até um leitor não matematicamente motivado possa acompanhar.

Uma fatorial é calculada ao multiplicar junto todos os números de 1 até o referido número. É escrito na forma “N!”, onde N é um número positivo. Por exemplo, 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 = 5!, que é lido como “5 fatorial”. Zero fatorial é definido como 1. Apesar de não fazer sentido imediato matematicamente falando, tentar encontrar o número de permutações disponíveis para zero faz sentido; só existe um jeito de organizar zero itens.

Uma permutação representa o número de maneiras diferentes que alguém pode organizar N objetos. Se você possui 5 livros e quer saber de quantas maneiras diferentes você pode empilhar eles, você usaria uma fatorial. O primeiro livro teria 5 posições possíveis; o próximo teria 4 posições possíveis restantes, e assim por diante. Portanto existem 120 (5!) maneiras de organizar 5 livros. Se você quisesse organizar apenas 3 livros, você só precisaria computar 5 x 4 x3 que é igual a 60. Isso porque você está usando somente 3 posições.

Uma combinação simplesmente representa um número de subconjuntos possíveis, independente da organização dos mesmos. Se você tivesse que escolher 3 dos 5 livros, quantas combinações diferentes são possíveis? Para isso, você teria que pegar o número de permutações, e então dividir pelo número de combinações repetidas. Você faz isso ao pegar a fatorial do número de itens. Para esse exemplo, você encontraria 5 * 4 * 3 e dividir o resultado por 1 * 2 * 3. Portanto,  60 dividido por 6 são 10, então existem 10 maneiras diferentes de pegar 3 de 5 livros.

Uma distribuição hipergeométrica é algo muito mais complexo. É usada para determinar a probabilidade de certos conjuntos de ocorrências quando extraindo elementos sem reposição. Essa definição certamente se aplica a comprar cartas de um deck, já que você retira as cartas do mesmo. Distribuição hipergeométrica pode parecer uma sentença não familiar, mas é um conceito com o qual todos nós estamos bastante familiarizados. Quando compramos cartas sem as repor de volta, esse conceito se aplica.

A sintaxe dessa fórmula é um pouco complexa, no entanto. Relembre a fórmula para o número de combinações para 3 de 5 itens, que é C (5, 3) sendo (5 * 4 * 3 / 1 * 2 * 3) ou 10. De forma alternativa, isso pode ser escrito como 5! / (3! * (5-3)!). Isso pode ser convertido em uma equação geral X! / (Y! * (X-Y)!). X é o número total de itens disponíveis para escolha, e Y é o número de itens que serão escolhidos. Usando a mesma notação X e Y, a fórmula para distribuição hipergeométrica H (X, Y) é a seguinte:

H (X1… Xn, Y1… Yn) =

C (X1, Y1) * … * C (Xn, Yn) / C (X1 + … + Xn, Y1 + … + Yn)

No entanto, isso pode ser bastante simplificado em vez de ir através de cada item de 1 até N, onde N é o número total de cartas. Em um caso de dois conjuntos, ou seja, todas as cartas com as quais você se preocupa são um caso e o resto sendo o outro caso, essa é a fórmula simplificada:

H (n) = C (x, n) * C ( Y – X, Z – n) / C (Y, Z)

Ao invés de fazer toda a aritmética à mão ou com uma super calculadora que possa lidar com fatoriais tão grandes, uma planilha como Excel pode ser usada para localizar distribuições hipergeométricas. A sintaxe é HYPGEOMDIST (N, Z, X, Y). Por exemplo, se você tem um deck de 60 cartas, quais serão as suas chances de não comprar uma de suas 4 Lightning Bolts no turno 1? Ao usar HYPGEOMDIST (0, 7, 4, 60) você obterá a chance de não comprar a carta. Portanto se você quer verificar as chances de comprar uma Lightning Bolt, basta subtrair o resultado de 1.

Essas são as chances de não comprar uma Lightning Bolt. No turno 1, você terá 7 cartas, e existe uma chance de 60,05% de você não comprar uma de suas 4 Lightning Bolts de suas 60 cartas. No turno 10 essa chance diminui para 27,84%. Da mesma forma, a chance de comprar uma ou mais no turno 1 é 39,95% e a chance aumenta para 72,16% no turno 10.

Distribuição hipergeométrica possui outras aplicações úteis dentro do jogo. Calcular quantas cartas terreno usar em um deck é a base de deckbuilding, já que você precisa de terrenos para jogar suas cartas. Muitas cartas terreno irão fazer com que você não compre cartas boas o suficiente conforme o jogo se prolonga, e ter poucos terrenos vai travar você, dando a vantagem ao seu oponente. Alguns decks vão precisar de mais terrenos para ser capaz de tomar a vantagem, e outros irão querer menos por causa de um menor requisito de mana. Se você quer comprar 4 terrenos até o turno 4 com frequência, mas não tanta, essa fórmula é útil.

A melhor coisa a fazer dentro do jogo é ter uma chance de 70-80% de isso acontecer, e então usar cartas que permitem você buscar no seu deck para conseguir mais. Agora irei examinar as chances de comprar quatro cartas terreno até o turno quatro se existem quantidades variáveis no deck. Usando HYPGEOMDIST no Excel, serão necessários alguns passos. Para cada número total de terrenos no deck (usarei 16 até 30), você tem que determinar a chance de comprar 0, 1, 2 e 3 terrenos em 10 cartas de um deck de 60 cartas. Então elas devem ser somadas, e o total subtraído de 1. Os números finais são as chances de comprar 4 terrenos até o turno 4.

Dependendo de qual taxa você preferir, parece que 28 terrenos darão uma chance justa de comprar os terrenos que esse deck precisa. Dependendo do número de cartas no deck que permitam o jogador buscar cartas extras, qualquer quantidade entre 24 e 28 são opções válidas. Cartas como Impulse (1) ajudam remediar esse problema. Enquanto o jogador tiver 2 terrenos para usar, Impulse pode pegar o que o jogador precisar a qualquer hora do jogo.

Todo mundo já se perguntou na tela de Muligan qual seria a melhor carta manter e qual substituir. Usando a matemática você pode otimizar suas chances de obter uma mão inicial para a sua situação de jogo que devem ser consideradas perante:

É interessante também saber a cada turno quais são as suas chances de comprar “aquela carta” que precisa, como chamamos de “top deck”. Mas qual a importância dessas informações?

Saber a sua probabilidade de  compra te concede um conhecimento maior sobre “oportunidades”, pode ser o diferencial para saber se o risco vale a pena ou não.

Sendo o primeiro a jogar, você começará com 3 cartas. Neste caso, 3 oportunidades de ter as cartas necessárias para o early game já lhe foi dada. O quadro abaixo exemplifica suas  chances de comprar uma carta de que precisa, seja uma ou duas, dependendo de quantas cartas você escolher “manter” no muligan.

Sendo o segundo a jogar você terá 4 cartas na mão inicial e mais “a moeda”. As mesmas regras de ser o primeiro a jogar se aplical, exceto que você já teve 4 chances de iniciar com as cartas que você precisa. Restando assim 26 cartas no seu deck para compra.

O quadro seguinte denota sua chance, como porcentagem, de comprar uma carta que você possui uma em sua mão e a porcentagem de comprar 1 carta que você possui 2 restantes no deck. Cartas que você possui 2 cópias, que você comprou 1 cópia ou já jogou uma cópia, deve ser tratada como “1 restante” daqui por diante. E claro, aquela carta que você possui apenas 1 cópia e já a possui em mãos ou já jogou, não entra na porcentagem “Restante”, pois apenas conta aquilo que ainda pode ser comprado.

O quadro seguinte mostra a sua chance, como uma porcentagem, de comprar uma carta que você possui 1 ou 2 remanescentes. Cartas que você tem 2, já comprou ou jogou uma, deve ser considerada (1 restante) após essa etapa.

Esse quadro é interessante salvar e conferir durante as partidas e saber se é válido arriscar ou não uma jogada de acordo com as chances da próxima compra. Se você tem o hábito de jogar campeonatos já reparou que muitos jogadores apostam pesado em jogadas pensando na chance de se dar “top deck” de algo que é sua condição de vitória e MUITAS vezes dá muito bom!

Agora que vocês aprenderam a calcular e entendem como funciona a probabilidade de compras. Eu vou mostrar que o deck tracker faz isso pra você! Abaixo das cartas o próprio aplicativo te mostra essa porcentagem.

ps. Saudades montinho!

Espero que tenham gostado e grande beijo!

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